二つの実数$\alpha,\ \beta$について，
\[ m(\alpha,\ \beta)=\left\{ \begin{array}{lcl}
\beta & & (\alpha \geqq \beta \text{のとき}) \\
\alpha & & (\alpha<\beta \text{のとき})
\end{array} \right. \]
と定め，また
\[ M(\alpha,\ \beta)=\alpha+\beta-m(\alpha,\ \beta) \]
とする．

$a,\ b$を実数として関数$f(x),\ g(x)$を次で定めるとき，以下の問いに答えなさい．
\[ f(x)=-(x-a)^2+b,\quad g(x)=M(0,\ x^2-1) \]


(1)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかきなさい．
(2)全ての実数$x$について
\[ m(f(x),\ g(x))=f(x) \]
が成り立つような$(a,\ b)$の範囲を図示しなさい．

$2$次関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
とおく．$a$を正の数とし，$F(x)$が$x=a$と$x=-a$で極値をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての$x$について$F(-x)=-F(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$F(x)+F(a)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(3)関数$\displaystyle \frac{F(x)}{F^\prime(0)}$の極大値を求めよ．

実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．

実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ．

関数$f(x)=\langle\!\langle x \rangle\!\rangle-2 \langle\!\langle x-1 \rangle\!\rangle+\langle\!\langle x-2 \rangle\!\rangle$を考える．

ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．

座標平面において，実数$x$に対して，$4$点$(x,\ 0)$，$(x+1,\ 0)$，$(x+1,\ 1)$，$(x,\ 1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし，$A_1 \cap A_x$の面積を$f(x)$とおく．ただし，$A_1 \cap A_x$が空集合あるいは線分のときは，$f(x)=0$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right)$，$g(2)$を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$について，$\displaystyle \int_0^3 xg(x) \, dx$を求めよ．

$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．

(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．

$a,\ b$を実数とする．$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数


$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$


を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

実数の定数$a$に対し，二つの関数$f(x)=x^2-4ax+1$および$g(x)=|x|-a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け．
(2)$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)>0$または$g(x)>0$が，$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．

実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．