京都工芸繊維大学
2016年 工芸科学 第3問
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$a,\ b$を実数とする．$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数
$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\ a & (x=0) \end{array} \right.$
$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\ b & (x=0) \end{array} \right.$
を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．
(1) $a,\ b$の値を求めよ．
(2) $xy$平面において，連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 \leqq y \leqq f(x)g(x) \end{array} \right. \] の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\ a & (x=0) \end{array} \right.$
$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\ b & (x=0) \end{array} \right.$
を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．
(1) $a,\ b$の値を求めよ．
(2) $xy$平面において，連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqq x \leqq \pi \\ 0 \leqq y \leqq f(x)g(x) \end{array} \right. \] の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
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