「漸化式」について
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私立 南山大学 2016年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．
私立 立教大学 2016年 第2問$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定義する．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=1+\frac{2}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$をそれぞれ分子と分母が$a$の整式となっている分数式で表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_n=(-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$により定めるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}$を表せ．
(4)数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$により定めるとき，$n$と$a$を用いて$c_n$を表せ．
(5)$a=1$のとき，$b_n$を$n$を用いて表せ．また，$a_n$を$n$を用いて表せ．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=1+\frac{2}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$をそれぞれ分子と分母が$a$の整式となっている分数式で表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_n=(-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$により定めるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}$を表せ．
(4)数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$により定めるとき，$n$と$a$を用いて$c_n$を表せ．
(5)$a=1$のとき，$b_n$を$n$を用いて表せ．また，$a_n$を$n$を用いて表せ．
私立 同志社大学 2016年 第3問$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が漸化式
\[ a_1=a,\quad \log_2 a_{n+1}=-|\log_2 a_n|+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$\log_2 y=-|\log_2 x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．
(2)座標平面上で，方程式$\log_2 y=-|\log_2 x|+2 (x>0)$の表す図形を描け．
(3)$x>0$において，方程式$\log_2 x=-|\log_2 x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．
(4)$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(5)$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
\[ a_1=a,\quad \log_2 a_{n+1}=-|\log_2 a_n|+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$\log_2 y=-|\log_2 x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．
(2)座標平面上で，方程式$\log_2 y=-|\log_2 x|+2 (x>0)$の表す図形を描け．
(3)$x>0$において，方程式$\log_2 x=-|\log_2 x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．
(4)$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(5)$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．
私立 早稲田大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は，すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a_1=256$であるとき，$a_4$は$[コ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である．
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき，$a_4$は$[シ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である．
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する．
(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える．$4$回投げたとき，$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である．また，$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき，$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である．
(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は，すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a_1=256$であるとき，$a_4$は$[コ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である．
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき，$a_4$は$[シ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である．
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する．
(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える．$4$回投げたとき，$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である．また，$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき，$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の各問の解答を記入せよ．
(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
私立 名城大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
私立 愛知工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
私立 久留米大学 2016年 第5問数列$\{a_n\}$が$3(a_{n+1})^2=(a_n)^3$の関係を満たしているとする．ただし，$a_n$は正の実数で，$n$は正の整数とする．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
私立 青山学院大学 2016年 第4問正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．時刻$0$で点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとにそのときにいる頂点から辺で結ばれた他の$2$頂点にそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で，辺で結ばれていない頂点に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で移動する．$n \geqq 1$に対して，$n$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$とする．
(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1},\ d_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を用いて表せ．
(3)$a_n+c_n$の値を求めよ．
(4)$p_n=a_n-c_n$とおくとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1},\ d_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を用いて表せ．
(3)$a_n+c_n$の値を求めよ．
(4)$p_n=a_n-c_n$とおくとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．