立教大学
2016年 全学部日程 第2問
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$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定義する．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=1+\frac{2}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$をそれぞれ分子と分母が$a$の整式となっている分数式で表せ．
(2) 数列$\{b_n\}$を$b_n=(-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$により定めるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3) $b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}$を表せ．
(4) 数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$により定めるとき，$n$と$a$を用いて$c_n$を表せ．
(5) $a=1$のとき，$b_n$を$n$を用いて表せ．また，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$をそれぞれ分子と分母が$a$の整式となっている分数式で表せ．
(2) 数列$\{b_n\}$を$b_n=(-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$により定めるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3) $b_{n+1}$と$b_n$を用いて$b_{n+2}$を表せ．
(4) 数列$\{c_n\}$を$c_n=b_{n+1}-b_n$により定めるとき，$n$と$a$を用いて$c_n$を表せ．
(5) $a=1$のとき，$b_n$を$n$を用いて表せ．また，$a_n$を$n$を用いて表せ．
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