$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．

自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．

正の整数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき，$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする．

(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき，$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ．
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて，
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき，$b$の値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[　]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[　]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[　]$．

円上の$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び，円周を$5$等分している．$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）

ある箱に$1$から$5$までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．そこから$1$枚カードをひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，$k$回目に取り出したカードの数字を$A_k$とし，
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．

(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．

(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n 12k(100)^{n-k} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$がある．$a_{17}-a_6$の下$1$桁から$12$桁までの数の和はいくらか．
(2)関数
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & \left( 0 \leqq x<\displaystyle\frac{1}{2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{2}{1}} \\
-2x+2 & \left( \displaystyle\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．このとき，$\displaystyle \int_0^1 |f(f(x))-\sin 2\pi x| \, dx$はいくらか．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \displaystyle\frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle\frac{2}{{(2x-1)}^2} \right)^{3x}$を求めよ．