熊本大学
2016年 理系 第2問
2
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自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1) 和$S(a)$を求めよ．
(2) $S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を \[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \] とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3) $(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4) $(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．
(1) 和$S(a)$を求めよ．
(2) $S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を \[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \] とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3) $(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4) $(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．
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