熊本大学
2016年 理系 第3問
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$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3) $z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
(1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3) $z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
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