「一般項」について
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国立 愛媛大学 2016年 第3問$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が$a_1=0$，$b_1=1$および
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n-b_n \\
b_{n+1}=a_n+3b_n+1 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．
(1)$c_n=a_n+b_n+1$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_n=\frac{a_n+1}{2^n}$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n-b_n \\
b_{n+1}=a_n+3b_n+1 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．
(1)$c_n=a_n+b_n+1$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_n=\frac{a_n+1}{2^n}$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$が，
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．
(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．
(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．
私立 山口東京理科大学 2016年 第6問次の条件によって定められる数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$がある．
$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=a_n+4b_n,\quad b_{n+1}=a_n-2b_n$
(1)数列$\{a_n+b_n\},\ \{a_n-4b_n\}$の一般項について，
$a_n+b_n=[ヘ] \cdot {[ホ]}^{n-1},$
$a_n-4b_n=-[マ] {(-[ミ])}^{n-1}$
が成り立つ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項について，
\[ a_n=\frac{[ム][メ] \cdot {[モ]}^{n-1}-[ヤ] \cdot {(-[ユ])}^{n-1}}{[ヨ]} \]
が成り立つ．
(3)数列$\{a_n\}$の漸化式について，
\[ a_{n+2}+[ラ]a_{n+1}-[リ]a_n=0 \]
が成り立つ．
$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=a_n+4b_n,\quad b_{n+1}=a_n-2b_n$
(1)数列$\{a_n+b_n\},\ \{a_n-4b_n\}$の一般項について，
$a_n+b_n=[ヘ] \cdot {[ホ]}^{n-1},$
$a_n-4b_n=-[マ] {(-[ミ])}^{n-1}$
が成り立つ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項について，
\[ a_n=\frac{[ム][メ] \cdot {[モ]}^{n-1}-[ヤ] \cdot {(-[ユ])}^{n-1}}{[ヨ]} \]
が成り立つ．
(3)数列$\{a_n\}$の漸化式について，
\[ a_{n+2}+[ラ]a_{n+1}-[リ]a_n=0 \]
が成り立つ．
私立 南山大学 2016年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$，$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である．
(2)次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{（時間）} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり，$x$の分散を求めると$[エ]$である．
(3)$a_1=99$，$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である．
(4)$x$と$y$は$0<x<y$，$\log_2 x+2 \log_4 y=1$，$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす．$s=\log_2 x$，$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である．
私立 名城大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
私立 東京都市大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=2 \cos \frac{\pi}{4},\quad a_n=2a_{n-1} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．
(1)一般項$\displaystyle b_n=a_n \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$を求めよ．
\[ a_1=2 \cos \frac{\pi}{4},\quad a_n=2a_{n-1} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．
(1)一般項$\displaystyle b_n=a_n \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$を求めよ．
私立 名城大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が$S_n=n^3+3n^2+2n$であるとする．次の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k}$を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k}$を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．第$n$項$a_n$に対して，$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$，また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める．ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは，$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 3$のとき，数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)正の整数$n$に対して，数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める．数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．第$n$項$a_n$に対して，$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$，また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める．ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは，$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 3$のとき，数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)正の整数$n$に対して，数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める．数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
私立 明治大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適切な数を入れよ．
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．
また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．
また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．
私立 大阪歯科大学 2016年 第1問次の各問の$[ ]$にあてはまる数または式を記入しなさい．
(1)$2016$の約数（$1$と$2016$も含める）の個数は$[ ]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n$（ただし，$a_1=1$）で表される数列の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(3)$2^{28}$の桁数は$[ ]$である．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$である．
(4)方程式$2 \cos \theta+\sin \theta=1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$における解$\theta$に対して$\tan \theta=[ ]$である．
(1)$2016$の約数（$1$と$2016$も含める）の個数は$[ ]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n$（ただし，$a_1=1$）で表される数列の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(3)$2^{28}$の桁数は$[ ]$である．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$である．
(4)方程式$2 \cos \theta+\sin \theta=1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$における解$\theta$に対して$\tan \theta=[ ]$である．