岩手大学
2016年 理工学部 第4問
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数列$\{a_n\}$が，
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．
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