「根号」について
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(6ページ目:全1904問中51問~60問を表示)![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
実数の定数$k$に対して,$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1)すべての$x$に対して,$f(x) \leqq 18$であることを示せ.
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ.
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ.
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ.
(1)すべての$x$に対して,$f(x) \leqq 18$であることを示せ.
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ.
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ.
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ.
![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
座標平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{6 \sqrt{3}}x^2$を考える.次の問いに答えよ.
(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$,$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ.
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し,$y$軸にも接している円の方程式を求めよ.
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$,$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ.
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し,$y$軸にも接している円の方程式を求めよ.
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
![熊本大学](./img/univ/kumamoto.png)
自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく.以下の問いに答えよ.
(1)和$S(a)$を求めよ.
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする.一般項$a_n$を求めよ.
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について,$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ.
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ.
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく.以下の問いに答えよ.
(1)和$S(a)$を求めよ.
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする.一般項$a_n$を求めよ.
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について,$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ.
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ.
![京都工芸繊維大学](./img/univ/kyotokousen.png)
$a,\ b$を実数とする.$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数
$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$
$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$
を考える.$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする.
(1)$a,\ b$の値を求めよ.
(2)$xy$平面において,連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える.$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$
$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$
を考える.$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする.
(1)$a,\ b$の値を求めよ.
(2)$xy$平面において,連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える.$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![防衛医科大学校](./img/univ/boueiidai.png)
四面体$\mathrm{ABCD}$において,$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2 \sqrt{2}$の正三角形,その他$3$つの三角形は$2$辺の長さが$4$の二等辺三角形である.辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{I}$,辺$\mathrm{AC}$を$5:1$に外分する点を$\mathrm{K}$,辺$\mathrm{BC}$と$\mathrm{IK}$の交点を$\mathrm{J}$として,以下の問に答えよ.
(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$,$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか.
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$,$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\mathrm{AG}$,$\mathrm{BH}$の長さはいくらか.
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか.
(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$,$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか.
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$,$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\mathrm{AG}$,$\mathrm{BH}$の長さはいくらか.
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
次の各問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数を表す.
(1)次の関数を微分せよ.
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ.
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
次の各問に答えよ.ただし,$\log x$は$x$の自然対数を表す.
(1)次の関数を微分せよ.
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ.
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
![弘前大学](./img/univ/hirosaki.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$のグラフの概形をかけ.
(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 x \sqrt{2-x} \, dx$を求めよ.
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$のグラフの概形をかけ.
(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 x \sqrt{2-x} \, dx$を求めよ.
![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし,$0<t<\sqrt{2}$に対して,$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる.点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする.また,点$\mathrm{P}$を通り,$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.
![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし,$0<t<\sqrt{2}$に対して,$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる.点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする.また,点$\mathrm{P}$を通り,$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.