「最小」について
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(5ページ目:全521問中41問~50問を表示)![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする.複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
![豊橋技術科学大学](./img/univ/toyohashi.png)
$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について,以下の問いに答えよ.なお,点$\mathrm{A}$の座標を$(r,\ 0)$,$\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(4)接線$\ell$に関して,点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(5)$r=1$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,接線$\ell$に関して,直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(4)接線$\ell$に関して,点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(5)$r=1$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,接線$\ell$に関して,直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ.
![山口大学](./img/univ/yamaguchi.png)
空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある.$\alpha$は$0<\alpha<1$を満たす定数とし,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をそれぞれ次のように定める.
\begin{itemize}
$\mathrm{P}$は$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の値を最小にする点
$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PB}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
$\mathrm{R}$は$\mathrm{OC}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
\end{itemize}
このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\mathrm{P}$の座標を求めなさい.
(2)$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$\alpha$を用いてそれぞれ表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{CPR}$と$\triangle \mathrm{BCQ}$の面積をそれぞれ$S_1$,$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい.
\begin{itemize}
$\mathrm{P}$は$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の値を最小にする点
$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PB}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
$\mathrm{R}$は$\mathrm{OC}$を$\alpha:1-\alpha$に内分する点
\end{itemize}
このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\mathrm{P}$の座標を求めなさい.
(2)$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$\alpha$を用いてそれぞれ表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{CPR}$と$\triangle \mathrm{BCQ}$の面積をそれぞれ$S_1$,$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
表の出る確率が$r$,裏の出る確率が$1-r$であるコインがある.このコインを繰り返し投げ,表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する.ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし,$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする.ただし,$n$は正の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$p_n$を求めよ.
(2)$q_n$を求めよ.
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
(1)$p_n$を求めよ.
(2)$q_n$を求めよ.
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
![東京海洋大学](./img/univ/tokyokaiyou.png)
$\log_{10}2=0.301$,$\log_{10}3=0.477$,$\log_{10}5=0.699$,$\log_{10}7=0.845$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)${2016}^n>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n {225}^k>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ.
(1)${2016}^n>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n {225}^k>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
表の出る確率が$r$,裏の出る確率が$1-r$であるコインがある.このコインを繰り返し投げ,表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する.ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし,$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする.ただし,$n$は正の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$p_n$を求めよ.
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ.ただし,$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい.
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
(1)$p_n$を求めよ.
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ.ただし,$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい.
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
![山口東京理科大学](./img/univ/yamaguchitokyorika.png)
空間において,$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$,$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ -1,\ -1)$を定める.点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線上の点であれば,実数$t$を用いて,
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表される.このとき,点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の長さを最小にするとき,$t$の値,点$\mathrm{P}$の座標について,
\[ t=[ニ],\quad \mathrm{P}(-[ヌ],\ -[ネ],\ [ノ]) \]
である.
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表される.このとき,点$\mathrm{P}$が$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の長さを最小にするとき,$t$の値,点$\mathrm{P}$の座標について,
\[ t=[ニ],\quad \mathrm{P}(-[ヌ],\ -[ネ],\ [ノ]) \]
である.
![南山大学](./img/univ/nanzan.png)
$[ ]$の中に答を入れよ.
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$,$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある.$g(0)>f(0)$となるとき,$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である.また,$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき,$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である.
(2)次のデータは,$5$個の乾電池について,ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである.
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{(時間)} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり,$x$の分散を求めると$[エ]$である.
(3)$a_1=99$,$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について,一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり,$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である.
(4)$x$と$y$は$0<x<y$,$\log_2 x+2 \log_4 y=1$,$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす.$s=\log_2 x$,$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である.また,$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である.
(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$,$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある.$g(0)>f(0)$となるとき,$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である.また,$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき,$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である.
(2)次のデータは,$5$個の乾電池について,ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである.
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{(時間)} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり,$x$の分散を求めると$[エ]$である.
(3)$a_1=99$,$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について,一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり,$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である.
(4)$x$と$y$は$0<x<y$,$\log_2 x+2 \log_4 y=1$,$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす.$s=\log_2 x$,$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である.また,$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
次の問いに答えよ.
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり,$x^3$の係数は$1$である.$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り,$x-9$で割ると$12$余る.方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ.$a,\ b$は$1$桁の自然数であり,$i$は虚数単位とする.
ただし$a,\ b$の組み合わせは,$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち,$a-b$が最大となるものとする.このとき,
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると,余りは$[$1$]x-[$2$]$である.
(ii) $a=[$3$]$,$b=[$4$]$であり,方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である.
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある.$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする.
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし,また,$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.ただし,$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする.このとき,
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である.
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる.
(3)$xy$平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と,$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある.円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき,$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする.ただし$t$は,$t \geqq 0$を満たす実数である.このとき,
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち,$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である.
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である.
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$($\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$)に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする.辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし,線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$,線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする.三角形$\mathrm{AOB}$に対して,自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は,$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.このとき,
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である.
(ii) $l=17$のとき,$m=[$18$][$19$]$,$n=[$20$]$であり,$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である.
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり,$x^3$の係数は$1$である.$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り,$x-9$で割ると$12$余る.方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ.$a,\ b$は$1$桁の自然数であり,$i$は虚数単位とする.
ただし$a,\ b$の組み合わせは,$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち,$a-b$が最大となるものとする.このとき,
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると,余りは$[$1$]x-[$2$]$である.
(ii) $a=[$3$]$,$b=[$4$]$であり,方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である.
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある.$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする.
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし,また,$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.ただし,$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする.このとき,
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である.
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる.
(3)$xy$平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と,$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある.円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき,$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする.ただし$t$は,$t \geqq 0$を満たす実数である.このとき,
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち,$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である.
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である.
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$($\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$)に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする.辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし,線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$,線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする.三角形$\mathrm{AOB}$に対して,自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は,$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.このとき,
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である.
(ii) $l=17$のとき,$m=[$18$][$19$]$,$n=[$20$]$であり,$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$i$を虚数単位とする.次の事実がある.
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする.このとき,
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する.
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である.
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし,集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める.事実$\mathrm{F}$を考慮すると,集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である.
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい.
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし,$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする.集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め,集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める.$b_1$と$b_2$が互いに素ならば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である.$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき,それらの最大公約数を$d$とすれば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である.
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする.このとき,
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する.
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である.
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし,集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める.事実$\mathrm{F}$を考慮すると,集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である.
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい.
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし,$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする.集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め,集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める.$b_1$と$b_2$が互いに素ならば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である.$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき,それらの最大公約数を$d$とすれば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である.