$i$を虚数単位とする．次の事実がある． \begin{waku}[事実$\mathrm{F}$] $a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき， \[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \] となる整数$k$が存在する． \end{waku}
(1) 等式 \[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \] を満たす最小の正の整数$k$は$\fbox{ツ}$である．
(2) $a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を \[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \] で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$\fbox{テ}$である．
(3) 事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4) $a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を \[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \] で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\fbox{ト}$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\fbox{ナ}$である．