表の出る確率が$r$，裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $p_n$を求めよ．
(2) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ．ただし，$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい．
(3) $\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．