「曲線」について
タグ「曲線」の検索結果
(4ページ目:全1320問中31問~40問を表示)![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
次の問いに答えよ.
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく.定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ.
(2)$b$を実数とし,$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める.$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする.
(i) $b$を求めよ.
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく.定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ.
(2)$b$を実数とし,$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める.$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする.
(i) $b$を求めよ.
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$k$を実数とする.$xy$平面の曲線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を持つとする.ただし点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする.また,原点を$\mathrm{O}$とする.
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ.
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき,$S^2$を$k$を用いて表せ.
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と,そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ.
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ.
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき,$S^2$を$k$を用いて表せ.
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする.$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と,そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする.関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
曲線$C:y=x^2$と,$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$,$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
曲線$C:y=x^2$と,$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$,$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
曲線$C:y=x^2$と,$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$,$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ.
![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し,次の問に答えよ.
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ.
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(4)部分積分法を用いて,不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$,$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ.
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ.
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(4)部分積分法を用いて,不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$,$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ.
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.