点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2) 曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．
(4) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．
(5) 曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．