タグ「方程式」の検索結果

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宮崎大学 国立 宮崎大学 2016年 第3問
関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し,座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする.点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で,点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)直線$\ell$の方程式を,$t$を用いて表せ.
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき,$t$の中で最も小さいものを求めよ.
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第2問
次の各問いに答えよ.

(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ.また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ.
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2016年 第2問
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
弘前大学 国立 弘前大学 2016年 第3問
半円$C_1:x^2+y^2=3,\ y>0$と放物線$C_2:y=ax^2$を考える.点$(2,\ 0)$を通り,$C_1$と接する直線を$\ell$とし,$C_1$と$\ell$の接点を$\mathrm{T}$とする.

(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C_2$が点$\mathrm{T}$を通るときの$a$の値を求めよ.
(3)$(2)$で求めた$a$に対して,$C_2$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし,$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする.$S_1-S_2$を求めよ.
弘前大学 国立 弘前大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ.
(2)$k$を定数とするとき,方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第2問
座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし,$0<t<\sqrt{2}$に対して,$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる.点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする.また,点$\mathrm{P}$を通り,$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第2問
座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし,$0<t<\sqrt{2}$に対して,$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる.点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする.また,点$\mathrm{P}$を通り,$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第2問
座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし,$0<t<\sqrt{2}$に対して,$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる.点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする.また,点$\mathrm{P}$を通り,$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ.
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ.
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき,$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第4問
座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し,次の問に答えよ.

(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と接線$\ell$,および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ.
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(4)部分積分法を用いて,不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$,$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ.
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第5問
$a>0$とし,座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$から曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}$に引いた接線を$\ell$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と接線$\ell$,および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ.
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