$a,\ b,\ p,\ q,\ r$は実数とする．$3$次方程式$x^3+px^2+qx+r=0$の$3$つの解が
\[ (2a+1)^2+(a-b)i, (2a+1)^2+(a^2+b+1)i, (2a+1)^2+(a^2+b-1)i \]
であるとき，$p,\ q,\ r$の値を求めなさい．ただし，$i=\sqrt{-1}$である．

$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．

座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．

(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ．

曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の方程式を解きなさい．
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい．
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい．
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]

関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする．

(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．

$a$を正の実数とし，$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし，
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく．

(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ．
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ．

$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$

を考える．正の実数$p,\ q$について，点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$，曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい．
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と，そのときの$x$を求めなさい．