$a$を正の実数とし，$x$の関数$f(x)$を \[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \] で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1) $f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．
(2) $f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3) $a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \ \ \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし， \[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \] とおく．
(ⅰ) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ．
(ⅱ) $\tan x_3$を$a$の式で表せ．