$a$を正の実数とし，曲線$y=x^3$を$C_1$，曲線$\displaystyle y=\frac{9}{8}ax^2$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の共通接線で$C_1$と$2$点を共有するものを$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標$p$を求めよ．さらに$\displaystyle I=\int_0^p \left( \frac{9}{8}ax^2-x^3 \right) \, dx$とするとき，比$S:I$を最も簡単な整数比で表せ．

水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており，$S_1$と$S_2$は外接している．

(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ．
(2)$\alpha$の上に乗っており，$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と$\alpha$の接点は，$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ．

$a$を定数とし，曲線$y=e^x-a(x-2)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸の接点の$x$座標，および定数$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える．また，$u=st$とする．点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

半円$C_1:x^2+y^2=3,\ y>0$と放物線$C_2:y=ax^2$を考える．点$(2,\ 0)$を通り，$C_1$と接する直線を$\ell$とし，$C_1$と$\ell$の接点を$\mathrm{T}$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$が点$\mathrm{T}$を通るときの$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a$に対して，$C_2$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1-S_2$を求めよ．

座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．

(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．

座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．

(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，および$y>0$を満たす動点$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$x$軸，辺$\mathrm{AC}$の延長線，および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える．$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$，そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする．

(i) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ．
(iii) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$，円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする．$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき，$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について，傾きが$1$である接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ．

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき，$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ．