タグ「内接円」の検索結果

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山口大学 国立 山口大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき,次の問いに答えなさい.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$a,\ b,\ c,\ R$を用いて表しなさい.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円と内接円の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2016年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=14$,$\mathrm{BC}=15$,$\mathrm{CA}=13$とし,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とする.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$について$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心$\mathrm{H}$について$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求め,外心$\mathrm{O}$について$\overrightarrow{\mathrm{CO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求め,外心$\mathrm{I}$について$\overrightarrow{\mathrm{CI}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
山口大学 国立 山口大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき,次の問いに答えなさい.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$a,\ b,\ c,\ R$を用いて表しなさい.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表しなさい.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円と内接円の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
旭川医科大学 国立 旭川医科大学 2016年 第2問
原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$\mathrm{A}(-1,\ 0)$,$\mathrm{B}(1,\ 0)$,および$y>0$を満たす動点$\mathrm{C}(x,\ y)$がある.$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ.
(3)$x$軸,辺$\mathrm{AC}$の延長線,および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える.$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$,そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする.

(i) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(ii) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ.
(iii) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$,円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする.$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき,$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2016年 第1問
\begin{mawarikomi}{50mm}{(図は省略)}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き,この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて,正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る.次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き,この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて,正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る.同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き,正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒,白,黒,白と交互に塗ることを繰り返す.ただし,$m$は自然数であるとする.以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}

(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数であるとする.
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において,$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ.
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め,$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ.次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2016年 第13問
原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,点$\mathrm{A}(6,\ 8)$,点$\mathrm{B}(21,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$について考える.$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を$(p,\ q)$とする.$|\displaystyle\frac{2p|{q}}$の値を求めよ.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第6問
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.

$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である.また,$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする.

(1)$\cos A=[ ]$である.
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である.
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である.
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である.
日本医科大学 私立 日本医科大学 2016年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$,$\mathrm{DA}=2$,また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である.四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の各問いに答えよ.なお数値の分母は有理化すること.

(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ.
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ.
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ.

(2)自然数$n$に対して,$n$を$3$で割った余りを$a_n$,$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき,以下の各問いに答えよ.

(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ.
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ.

(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に,次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$($k$は実数の定数)が与えられているとき,以下の各問いに答えよ.
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]

(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ.
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ.
同志社大学 私立 同志社大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

(1)$a$を実数とする.$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき,$a$の値の範囲は$[ア]$である.この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である.$a=[ウ]$のとき,$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である.このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり,内接円の半径は$[オ]$である.
(2)$k$を実数とし,$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく.曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である.直線$\ell$は,$k$の値によらず定点$([キ])$を通る.$k$の値の範囲が$[ク]$のとき,曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる.このとき,この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち,$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される.$k=-7$のとき,$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第3問
三角形$\mathrm{ABC}$について,$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=7$,$\mathrm{CA}=8$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である.$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である.

また,三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$,外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$


である.
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である.
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である.
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「内接円」とは・・・

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