三角形$\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$とする．このとき \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{アイ} \] である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき \[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である．
また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$，外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セソ}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{タチ}}{\fbox{ツテ}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である．
したがって \[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である．
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は \[ \frac{\fbox{ニヌ}+\sqrt{\fbox{ネ}}}{\sqrt{\fbox{ノ}}} \] である．