次の各問いに答えよ．
(1) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(ⅰ) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ⅱ) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(ⅲ) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ． [$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2) 自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3) $\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ． \[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(ⅰ) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ⅱ) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．