「不等式」について
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(2ページ目:全633問中11問~20問を表示)![滋賀大学](./img/univ/shiga.png)
関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について,次の問いに答えよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ.
(2)$a$を$0$以上の定数とし,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$a$を変化させたとき,$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ.
(2)$a$を$0$以上の定数とし,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$a$を変化させたとき,$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える.点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする.$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして,点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする.不等式$a>b>0$が成り立つとする.$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし,$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ.
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき,$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える.点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする.$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして,点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする.不等式$a>b>0$が成り立つとする.$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし,$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ.
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき,$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える.点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする.$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして,点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする.不等式$a>b>0$が成り立つとする.$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし,$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ.
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき,$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える.点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする.$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして,点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする.不等式$a>b>0$が成り立つとする.$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし,$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ.
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき,$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)次の方程式を解きなさい.
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい.
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい.
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい.
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]
(1)次の方程式を解きなさい.
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい.
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい.
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい.
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい.
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい.
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と,そのときの$x$を求めなさい.
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい.
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい.
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と,そのときの$x$を求めなさい.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
以下の問いに答えよ.
(1)$x>0$において,不等式$\log x<x$を示せ.
(2)$1<a<b$のとき,不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ.
(3)$x \geqq e$において,不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ.ただし,$e$は自然対数の底である.
(1)$x>0$において,不等式$\log x<x$を示せ.
(2)$1<a<b$のとき,不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ.
(3)$x \geqq e$において,不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ.ただし,$e$は自然対数の底である.
![小樽商科大学](./img/univ/otaru.png)
次の$[ ]$の中を適当に補え.
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は,全部で$[ ]$個である.
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$,最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である.
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は,全部で$[ ]$個である.
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$,最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
$y>0$とするとき,不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について,次の各問に答えよ.
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき,この不等式を,$X$を用いて表せ.
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ.
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について,次の各問に答えよ.
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき,この不等式を,$X$を用いて表せ.
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
$y>0$とするとき,不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について,次の各問に答えよ.
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき,この不等式を,$X$を用いて表せ.
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ.
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について,次の各問に答えよ.
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき,この不等式を,$X$を用いて表せ.
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ.