$\triangle \mathrm{OAB}$において，次のように$6$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{R}^\prime$を定める．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする．同様に，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$，外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．

曲線$y=x^3 (x>0)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における法線を$\ell$とし，$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)法線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(-\beta)$として，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$とする．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．

媒介変数$\theta$を用いて$x=\sqrt{2} \cos \theta$，$y=\sqrt{3} \sin \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$で表される曲線を$C$とする．

(1)$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．また，$C$と$y$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$x-y$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$(x+y)(x-y)$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．

(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．

実数の定数$a$に対し，二つの関数$f(x)=x^2-4ax+1$および$g(x)=|x|-a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け．
(2)$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)>0$または$g(x)>0$が，$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数


$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$


を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

赤球，白球合わせて$2$個以上入っている袋に対して，次の操作$(*)$を考える．


\mon[$(*)$] 袋から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である場合は，その色の球を$1$個だけ袋に入れる．

赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作$(*)$を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作$(*)$を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r,\ w$とする．

(1)赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0,\ p_1,\ p_2$の値を求めよ．
(2)$r=w$となる確率を求めよ．
(3)$r>w$となる確率を求めよ．
(4)$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．

実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．