$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$とする．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として，次の問いに答えよ．
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2) $3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．