「三角比」について
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国立 鳥取大学 2016年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
国立 鳥取大学 2016年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
国立 千葉大学 2016年 第4問曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く．正の実数$r$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
国立 徳島大学 2016年 第4問媒介変数$\theta$を用いて$x=\sqrt{2} \cos \theta$，$y=\sqrt{3} \sin \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$で表される曲線を$C$とする．
(1)$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．また，$C$と$y$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$x-y$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$(x+y)(x-y)$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．また，$C$と$y$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$x-y$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$(x+y)(x-y)$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 高知大学 2016年 第2問実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．
(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2016年 第4問関数$f(x)=\sin^{2n+2}x+4 \cos^{2n+2}x$（$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$，$n$は自然数）について以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$はいくらか．
(2)$f(x)$の最小値はいくらか．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$はいくらか．
(2)$f(x)$の最小値はいくらか．