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私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる．関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる．
(2)箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$，$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる．関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる．
(2)箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$，$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である．
私立 同志社大学 2016年 第4問$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x \sin (nx)|$，$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$，$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
私立 南山大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である．
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり，方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である．
(4)$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である．
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である．
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり，方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である．
(4)$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．
三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=9$とする．
このとき$\cos \angle \mathrm{A}=[チ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ツ]$である．
この三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを$\theta$（ただし，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$）とすると$\sin \theta=[テ]$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ト]$である．また，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$[ナ]$である．
三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=9$とする．
このとき$\cos \angle \mathrm{A}=[チ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ツ]$である．
この三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを$\theta$（ただし，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$）とすると$\sin \theta=[テ]$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ト]$である．また，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$[ナ]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
(1)$2016$の正の約数は全部で$[ア]$個あり，それらの平均は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{P}_2(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$がある．$x$軸に関して，点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_1$と対称な点をそれぞれ$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とし，さらに，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積を$S_1(\theta)$，三角形$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$の面積を$S_2 (\theta)$とする．
(i) $\displaystyle S_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)=[ウ]$である．
(ii) $\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{S_1(\theta)}{S_2(\theta)}=[エ]$である．
(iii) $S_1(\theta)$は$\cos \theta=[オ]$のとき最大値$[カ]$をとる．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$i$を虚数単位とする．次の事実がある．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}
(1)$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{S_n\}$が初項$k$，公比$k$の等比数列であるとする．
\begin{itemize}
$k=3$の場合，$a_n \geqq 5000$を満たすのは$n \geqq [$1$]$のときである．
$a_n$が$100$の倍数となる$n$が存在するような$10$以下の自然数$k$は$[$2$]$つあり，このとき，$a_n$が$100$の倍数となるのは$n \geqq [$3$]$のときである．
\end{itemize}
(2)$\alpha$を$0 \leqq \alpha<2\pi$を満たす定数とする．実数$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲で変化するとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(\sin t,\ \sin (t+\alpha))$の軌跡を$\mathrm{T}$とする．
\begin{itemize}
$\mathrm{T}$が線分となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
$\mathrm{T}$が原点を中心とする円となるような$\alpha$の値をすべて記せ．
\end{itemize}