大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．

実数$a,\ b$に対して，座標空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ 0,\ a)$，$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ b)$を考える．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が定める平面上に点$\mathrm{R}(1,\ 1,\ 1)$があるとき，$a$と$b$の関係を求め，$S$の最小値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい．
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と，そのときの$x$を求めなさい．

一辺の長さ$1$の正五角形$\mathrm{OABCD}$について，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{DC}$は平行である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y},\quad \overrightarrow{\mathrm{DC}}=k \overrightarrow{b} \quad (k \text{は実数}) \]
とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)$k$の値を求め，$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．

次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．

\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．

\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}


(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．

大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．

$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える．また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C$上に，$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

ただし$(2)$，$(3)$においては，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．

点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．

(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．