原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ． \imgc{678_3147_2016_1}
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3) 曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4) 曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5) 点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ． 曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．