一辺の長さ$1$の正五角形$\mathrm{OABCD}$について，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{DC}$は平行である． \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y},\quad \overrightarrow{\mathrm{DC}}=k \overrightarrow{b} \quad (k \text{は実数}) \] とするとき，次の各問に答えよ． \imgc{735_3043_2016_1}
(1) $k$の値を求め，$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．
(2) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．