$xyz$空間において，平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．

この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

$a$を正の実数とし，$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし，
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく．

(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ．
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ．

$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．

(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．

以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．

(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．

$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．