山形大学
2016年 理学部（数理） 第4問
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$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2) $S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3) 関数$S_1(t) \ \ (t>0)$の最大値を求めよ．
(4) $\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5) 関数$S_n(t) \ \ (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．
(1) 関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2) $S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3) 関数$S_1(t) \ \ (t>0)$の最大値を求めよ．
(4) $\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5) 関数$S_n(t) \ \ (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．
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