$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．

不等式$2 |x|+3 |y| \leqq 30$の表す領域における点の座標を$(a,\ b)$とする．$a,\ b$ともに整数となる点の個数を$p$としたとき，$\displaystyle n<\frac{p}{100}<n+1$となる自然数$n$の値を求めよ．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

(1)$100$以下の自然数で，$2$と$5$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$個である．
同様に$100$以下の自然数で，$2$と$3$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$である．
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える．曲線$C$の接線で，点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，$[　]$であり，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は，$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり，四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，体積が最大となるのは，
\[ x=[　],\quad y=[　] \]
のときである．

$a$を実数として，$2$つの不等式

$x^2-y^2 \geqq 0 \qquad\qquad\qquad\quad\, \cdots\cdots (\mathrm{A})$
$(x-a-1)^2+y^2 \leqq a^2 \qquad \cdots\cdots (\mathrm{B})$

を考える．

(1)平面上で$(\mathrm{A})$の定める領域を図示せよ．
(2)実数$x,\ y$について，$(\mathrm{A})$が成り立つことが$(\mathrm{B})$が成り立つことの必要条件となるような$a$の範囲を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$3n+9$と$8n+9$の最大公約数が$5$となるような$20$以下の自然数$n$は$[ア]$個ある．そのうち最も大きな$n$の値は$[イウ]$である．
(2)曲線$C:y=x^2-2ax+2a^2-5a$（$a$は定数）は$x$軸と異なる$2$点で交わるものとする．$a$の値の取り得る範囲は$[エ]<a<[オ]$である．
そして，$C$と$x$軸とで囲まれた領域の面積が$8 \sqrt{6}$のとき，$a$の値は小さい順に$[カ]$，$[キ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$\alpha,\ \beta$は，$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている．$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい．

(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい．
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる．出る目の数の積を$n$とし，直線$3x+5y=n$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$，$(0,\ b)$とする．$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい．

$2$つの変量をもつ$100$個のデータ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，$(x_{100},\ y_{100})$が，
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える．$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき，点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である．また，$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である．

$xy$平面において，連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．