「面積」について
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国立 横浜国立大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第5問$xy$平面上に楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$がある．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a,\ b$がみたす条件を求めよ．
(2)$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a,\ b$がみたす条件を求めよ．
(2)$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．
(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．
(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第1問$k$を実数とする．$xy$平面の曲線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を持つとする．ただし点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
国立 群馬大学 2016年 第2問$0<\theta<\pi$とする．単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{C}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第5問点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．
(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．