埼玉大学
2016年 工学部 第4問
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四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \ \ \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4) $|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5) $\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4) $|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5) $\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
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