「関数」について
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(6ページ目:全2213問中51問~60問を表示)![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
図のような,一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり,$\mathrm{OP}=x$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で,立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る.その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ.
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ.
\end{mawarikomi}
(図は省略)
}
図のような,一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり,$\mathrm{OP}=x$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で,立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る.その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ.
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ.
\end{mawarikomi}
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$2$次関数$f(x)$に対して,関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める.方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする.これらの解のうち,最大の解と最小の解の絶対値は一致する.このとき,$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい.
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める.方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする.これらの解のうち,最大の解と最小の解の絶対値は一致する.このとき,$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$a,\ b,\ c$および$d$は実数で,$a>0$,$b<0$,$d \neq 0$とする.また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく.$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$があり,点$\mathrm{O}$は原点を表す.点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$,$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である.この$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき,定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい.
(i) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(iii) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく.$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$があり,点$\mathrm{O}$は原点を表す.点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$,$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である.この$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき,定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい.
(i) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(iii) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)次の方程式を解きなさい.
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい.
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい.
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい.
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]
(1)次の方程式を解きなさい.
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい.
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい.
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい.
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
![東京農工大学](./img/univ/tokyonoukou.png)
$a$を正の実数とし,$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.
(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.
(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$($p$は正の定数)とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)関数$F(x)$を微分しなさい.
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)を微分しなさい.
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)と表すことができる.このとき,$A,\ B,\ C$の値を求めなさい.
ただし,$F(0)$,$F^\prime(0)$,$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい.
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$T_1,\ T_2$の値を求めなさい.
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい.
(1)関数$F(x)$を微分しなさい.
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)を微分しなさい.
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)と表すことができる.このとき,$A,\ B,\ C$の値を求めなさい.
ただし,$F(0)$,$F^\prime(0)$,$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい.
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$T_1,\ T_2$の値を求めなさい.
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする.
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい.
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい.
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき,$a,\ b$がみたす条件を求めなさい.
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい.
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい.
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい.
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき,$a,\ b$がみたす条件を求めなさい.
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする.
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい.
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい.
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき,$a,\ b$がみたす条件を求めなさい.
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい.
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい.
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい.
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき,$a,\ b$がみたす条件を求めなさい.
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい.