「関数」について
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私立 早稲田大学 2016年 第4問$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする．ただし$x \geqq 0$とする．
関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1$，$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である．
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする．ただし$x \geqq 0$とする．
関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1$，$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし設問$(2)$の空欄$[え]$には選択肢より適切な数を選んで記入しなさい．
(1)定員$2$名，$3$名，$4$名の$3$つの部屋がある．
(i) $2$人の教員と$7$人の学生の合計$9$人をこれらの$3$つの部屋に定員どおりに入れる割り当て方は$[あ]$とおりである．また，その割り当て方のなかで$2$人の教員が異なる部屋に入るようにする割り当て方は$[い]$とおりである．
(ii) $7$人の学生のみを，これらの$3$つの部屋に定員を超えないように入れる割り当て方は$[う]$とおりである．ただし誰も入らない部屋があってもよい．
(2)二元一次不定方程式$13x+11y=c$は$c=[え]$のとき$x>0$，$y>0$なる整数解をちょうど$1$組もつ．そのときの解は$(x,\ y)=([お],\ [か])$である．
\begin{waku}[$[え]$の選択肢]
$222 \quad 223 \quad 224$
\end{waku}
(3)すべての実数$m$に対して
\[ f(m)=\int_0^1 |e^x-m|e^x \, dx \]
により定義される関数$f(m)$は，$m=[き]$において最小値$[く]$をとる．
(1)定員$2$名，$3$名，$4$名の$3$つの部屋がある．
(i) $2$人の教員と$7$人の学生の合計$9$人をこれらの$3$つの部屋に定員どおりに入れる割り当て方は$[あ]$とおりである．また，その割り当て方のなかで$2$人の教員が異なる部屋に入るようにする割り当て方は$[い]$とおりである．
(ii) $7$人の学生のみを，これらの$3$つの部屋に定員を超えないように入れる割り当て方は$[う]$とおりである．ただし誰も入らない部屋があってもよい．
(2)二元一次不定方程式$13x+11y=c$は$c=[え]$のとき$x>0$，$y>0$なる整数解をちょうど$1$組もつ．そのときの解は$(x,\ y)=([お],\ [か])$である．
\begin{waku}[$[え]$の選択肢]
$222 \quad 223 \quad 224$
\end{waku}
(3)すべての実数$m$に対して
\[ f(m)=\int_0^1 |e^x-m|e^x \, dx \]
により定義される関数$f(m)$は，$m=[き]$において最小値$[く]$をとる．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第1問関数$f(x)=|x^2-1|-1$について，次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)$の最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．
(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．
私立 久留米大学 2016年 第4問座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．
私立 星薬科大学 2016年 第5問$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき，次の問に答えよ．
(1)このとき，$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である．
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり，この$\ell$は，点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である．
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき，次の問に答えよ．
(1)このとき，$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である．
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり，この$\ell$は，点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である．
私立 東北学院大学 2016年 第3問関数$f(x)=-x^2+1$について以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．$A$から，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ -t^2+1)$，$(-t,\ -t^2+1)$，$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．$A$から，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ -t^2+1)$，$(-t,\ -t^2+1)$，$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．
私立 東北学院大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=x^2-6x+\int_0^x (t^2-6t+9) \, dt$の増減を調べ極値を求めよ．
私立 愛知工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．