$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く．点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と，点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)正の実数$a$に対して，$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$，$x=-a$によって囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．

$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く．点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と，点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)正の実数$a$に対して，$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$，$x=-a$によって囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．

$2$曲線$y=e^x-1$，$\displaystyle y=e^{-x}+\frac{1}{2}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$を$C$とする．実数$t>1$に対して，点$(0,\ t)$を通り第$1$象限の点$(a,\ b)$で曲線$C$に接する直線を$\ell$とする．

(1)$x$軸，$y$軸と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，導関数$S_2^\prime(t)$の最大値を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{6 \sqrt{3}}x^2$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ．
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し，$y$軸にも接している円の方程式を求めよ．
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，曲線$C:y=x^3-3ax^2+bx$を考える．$C$の接線の傾きの最小値が$-3$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$C$が$x$軸の正の部分，負の部分とそれぞれ$1$点で交わるとする．このとき$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め，そのときの$a$の値を求めよ．

$a \geqq 0$を満たす実数$a$に対して，関数
\[ f(t)=t^3-6t^2+9t \]
の$-1 \leqq t \leqq a$における最大値を$g(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(2)$と$g(5)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$y=g(x)$のグラフと$x$軸および直線$x=5$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$t$を実数とし，$xy$平面上に直線$\ell:y=tx$と曲線$C:y=\log x$がある．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$が$C$と共有点をもたないとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$が$C$と接するとき，$\ell$と$C$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)正の実数$a$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\ell$の距離を$f(a)$とおく．$f(a)$の最小値を$t$を用いて表せ．

関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

半円$C_1:x^2+y^2=3,\ y>0$と放物線$C_2:y=ax^2$を考える．点$(2,\ 0)$を通り，$C_1$と接する直線を$\ell$とし，$C_1$と$\ell$の接点を$\mathrm{T}$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$が点$\mathrm{T}$を通るときの$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a$に対して，$C_2$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1-S_2$を求めよ．