「複素数」について
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国立 静岡大学 2016年 第4問$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし，等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする．ただし，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
国立 大阪教育大学 2016年 第4問$n$を$2$以上の自然数とする．
(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする．方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき，$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ．
(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする．方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき，$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{W}(w)$，$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり，
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第3問複素数$z_n$を
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める．ただし，$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする．また，複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$を図示せよ．また，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ，および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$，$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$，$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ．
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ．
(4)$z_n$の実部，虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ．
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める．ただし，$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする．また，複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$を図示せよ．また，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ，および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$，$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$，$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ．
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ．
(4)$z_n$の実部，虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ．
国立 東京農工大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$，$r>0$とする．複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする．$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．ただし，$i$は虚数単位とし，複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．
(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．
国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 徳島大学 2016年 第2問$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(-\beta)$として，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．