「複素数」について
タグ「複素数」の検索結果
(2ページ目:全105問中11問~20問を表示)![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし,等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする.ただし,$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
![大阪教育大学](./img/univ/osakakyouiku.png)
$n$を$2$以上の自然数とする.
(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ.
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする.方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき,$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ.
(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ.
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする.方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき,$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{W}(w)$,$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり,
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
複素数$z_n$を
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める.ただし,$i$を虚数単位とし,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする.また,複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図示せよ.また,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ,および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$,$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$,$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ.
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ.
(4)$z_n$の実部,虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ.
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める.ただし,$i$を虚数単位とし,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする.また,複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図示せよ.また,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ,および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$,$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$,$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ.
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ.
(4)$z_n$の実部,虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ.
![東京農工大学](./img/univ/tokyonoukou.png)
$n$を自然数とし,$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$,$r>0$とする.複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする.$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.ただし,$i$は虚数単位とし,複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す.次の問いに答えよ.
(1)$a$と$b$の値を求めよ.
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha_1)$,$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\theta$の値を求めよ.
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し,その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ.
(1)$a$と$b$の値を求めよ.
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha_1)$,$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\theta$の値を求めよ.
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し,その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)次の極限を求めなさい.
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して,次の問いに答えなさい.
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい.
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{AC}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする.点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする.
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい.
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい.
(1)次の極限を求めなさい.
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して,次の問いに答えなさい.
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい.
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{AC}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする.点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする.
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい.
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$($i$は虚数単位)とおく.
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ.
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき,$\alpha+\overline{\alpha}$,$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である.
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ.
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ.
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき,$\alpha+\overline{\alpha}$,$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である.
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$($i$は虚数単位)とおく.
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ.
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき,$\alpha+\overline{\alpha}$,$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である.
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ.
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ.
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき,$\alpha+\overline{\alpha}$,$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である.
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$($i$は虚数単位)とおく.
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ.
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき,$\alpha+\overline{\alpha}$,$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である.
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ.
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ.
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき,$\alpha+\overline{\alpha}$,$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である.
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ.
![徳島大学](./img/univ/tokushima.png)
$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする.複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$,$\mathrm{C}(-\beta)$として,次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ.ただし,偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ.
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ.
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ.ただし,偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ.
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ.