「複素数平面」について
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国立 群馬大学 2016年 第3問複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし，原点を通る円を$C$とする．また，$\mathrm{P}(z)$，$\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし，$\displaystyle 0<\arg{z}<\arg{w}<\frac{\pi}{2}$とする．さらに，$\displaystyle R=\frac{z(w-2)}{w(z-2)}$とおく．
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ．
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第5問$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．
国立 東京農工大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$，$r>0$とする．複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする．$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．ただし，$i$は虚数単位とし，複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．
(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．
国立 徳島大学 2016年 第2問$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(-\beta)$として，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第5問複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(5)$，$\mathrm{B}(-10-5i)$，$\mathrm{C}(3+4i)$をとる．$\triangle \mathrm{OAB}$を，点$\mathrm{O}$が点$\mathrm{C}$に重なるように平行移動し，さらに点$\mathrm{C}$のまわりに$\theta$だけ回転した．このとき，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime(\alpha)$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime(\beta)$に移った．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とし，$\alpha,\ \beta$は複素数とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{A}^\prime$が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第4問$2$つの複素数$w,\ z$が$\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}$を満たしているとする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．
(1)複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．ただし，$z \neq 2$とする．
(2)複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．
(3)複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．
(1)複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．ただし，$z \neq 2$とする．
(2)複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．
(3)複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$4$つの複素数$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$は互いに異なり，その絶対値はすべて$1$であるとする．
(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき，$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ．
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ．
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ．
(1)$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき，$z_1+z_2+z_3=0$となることを示せ．
(2)$z_1+z_2+z_3=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3$を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ．
(3)$z_1+z_2+z_3+z_4=0$が成り立つとき，$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4$を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ．