「絶対値」について
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国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
国立 秋田大学 2016年 第1問$i$を虚数単位とする．複素数$z$が等式$|iz+3|=|2z-6|$を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)この等式を満たす点$z$全体は，どのような図形を表すか答えよ．
(2)$z-\overline{z}=0$を満たす$z$を求めよ．
(3)$|z+i|$の最大値を求めよ．
(1)この等式を満たす点$z$全体は，どのような図形を表すか答えよ．
(2)$z-\overline{z}=0$を満たす$z$を求めよ．
(3)$|z+i|$の最大値を求めよ．
国立 秋田大学 2016年 第1問$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2016年 第1問$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2016年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．正の数$m$に対して，線分$\mathrm{PC}$を$m:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ m$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{b|}=3$，$|\overrightarrow{c|}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第3問複素数$z$は実部が$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$，虚部は正で$|z|=1$である．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
国立 山口大学 2016年 第3問座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \]
で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2)$k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が
\[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \]
を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．
(i) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ii) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \]
で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2)$k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が
\[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \]
を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．
(i) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ii) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$
国立 山口大学 2016年 第4問点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して，点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．