山口大学
2016年 理（数理科学）・医 第3問
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座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は \[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \] で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2) $k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が \[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \] を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．
(ⅰ) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は \[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \] で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2) $k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が \[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \] を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．
(ⅰ) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ⅱ) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$
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