点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して，点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は \[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \] を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$\maruichi$を証明なしに用いてもよい． \[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \hfill \cdots\cdots \ \ \maruichi \]
(1) 等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2) $\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3) 点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．