「絶対値」について
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国立 福島大学 2016年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい．
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と，そのときの$x$を求めなさい．
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい．
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と，そのときの$x$を求めなさい．
国立 信州大学 2016年 第3問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第5問$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第3問関数$f(x)=\langle\!\langle x \rangle\!\rangle-2 \langle\!\langle x-1 \rangle\!\rangle+\langle\!\langle x-2 \rangle\!\rangle$を考える．
ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．
ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．
(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第2問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第4問$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．
(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第2問$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．