$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(-\beta)$として，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．

(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．

実数の定数$a$に対し，二つの関数$f(x)=x^2-4ax+1$および$g(x)=|x|-a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け．
(2)$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)>0$または$g(x)>0$が，$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，曲線$C:y=x^3-3ax^2+bx$を考える．$C$の接線の傾きの最小値が$-3$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$C$が$x$軸の正の部分，負の部分とそれぞれ$1$点で交わるとする．このとき$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め，そのときの$a$の値を求めよ．

$s,\ t$を実数とする．平面上の異なる$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=s \overrightarrow{\mathrm{PA}}+t \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしている．また，点$\mathrm{C}$および点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$上にない．線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AP}$上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表し，$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たすとき，$s$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとき，$s$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に周は含まれないものとする．

$a \geqq 0$を満たす実数$a$に対して，関数
\[ f(t)=t^3-6t^2+9t \]
の$-1 \leqq t \leqq a$における最大値を$g(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(2)$と$g(5)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$y=g(x)$のグラフと$x$軸および直線$x=5$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$s,\ t$を実数とする．平面上の異なる$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=s \overrightarrow{\mathrm{PA}}+t \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしている．また，点$\mathrm{C}$および点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$上にない．線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AP}$上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表し，$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たすとき，$s$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとき，$s$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に周は含まれないものとする．

$t$を実数とし，$xy$平面上に直線$\ell:y=tx$と曲線$C:y=\log x$がある．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$が$C$と共有点をもたないとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$が$C$と接するとき，$\ell$と$C$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)正の実数$a$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\ell$の距離を$f(a)$とおく．$f(a)$の最小値を$t$を用いて表せ．

$2$以上の自然数$n$と自然数$a$について，和
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2)$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3)$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．

$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．