宮崎大学
2016年 教育文化（理系） 第3問
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$2$以上の自然数$n$と自然数$a$について，和
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
(1) $6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2) $n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3) $n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．
(1) $6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2) $n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3) $n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．
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