次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．

$f(x)=x^2-2ax+a+2$について，次の問いに答えなさい．

(1)$y=f(x)$のグラフが点$(1,\ 2)$を通るとき，$a$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$a$を用いて$m$を表せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$において，常に$f(x)>0$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=x$，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{BCA}$を$x$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$が成り立つとき，$x$の値を求め，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$\displaystyle x=\frac{[ケコ]}{[サ]}$で極小値，$x=[シ]$で極大値をとる．

また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$を原点のまわりに正の向きに$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転した直線の方程式は$y=[チ]x$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(3,\ 2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m \leqq [ツテ]$，$m \geqq [ト]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}(2,\ 1)$，$\mathrm{D}(5,\ 4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式は，$\displaystyle \left( x-[ナ] \right)^2+\left( y-[ニ] \right)^2=[ヌ]$である．

関数$f(x)=-x^2+2ax-2a^2+a+2$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle I=\int_0^a f(x) \, dx$を$a$の式で表せ．
(3)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$(2)$で定めた$I$が最小となるような$a$の値を求めよ．

$a$を定数として，曲線$y=x^3+x^2+a$に関する次の問いに答えよ．

(1)$x=t$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線が$(1,\ 0)$を通るとき，$a$を$t$の関数として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，接線が$3$本存在する$a$の範囲を求めよ．

$a$は$0$でない定数とする．$2$つの円$C_1:x^2+y^2+4x-6y+9=0$，$C_2:x^2+y^2-4ax+2y+1=0$は異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．

(1)$a$の値に関係なく，$C_2$が通る定点の座標は$[ア]$である．
(2)$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の傾きが$-3$となるとき，$a=[ウ]$である．
(4)$C_1$の中心を$\mathrm{A}$とおく．$\triangle \mathrm{APQ}$が正三角形となるとき，$a=[エ]$である．

$x$についての$2$次方程式$x^2-2kx+k^2+k-6=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．このとき，

(1)$\alpha,\ \beta$がともに正となるような定数$k$の値の範囲は，$[ア]<k<[イ]$である．
(2)$\alpha$が正，$\beta$が負となるような定数$k$の値の範囲は，$-[ウ]<k<[エ]$である．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 4 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2}+\pi \right)>3$を満たす$\theta$の値の範囲は，
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \pi <\theta< \frac{[キ]}{[ク]} \pi \]
である．