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公立 北九州市立大学 2016年 第1問以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．
(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
公立 北九州市立大学 2016年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．
(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．
問題集 センター試験 2015年 第1問$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．
(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．
(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．
(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．
(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．
問題集 センター試験 2015年 第2問$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．
(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．
$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．
このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．
直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．
(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．
$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．
このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．
直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．
問題集 センター試験 2015年 第4問同じ大きさの$5$枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する．赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける．ただし，塗り分ける際には，$3$色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，$2$色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする．
（図は省略）
(1)このような塗り方は，全部で$[アイ]$通りある．
(2)塗り方が左右対称となるのは，$[ウエ]$通りある．
(3)青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$[オ]$通りある．
(4)赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$[カ]$通りある．
(5)赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．
\begin{itemize}
どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[キ]$通りある．
端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[クケ]$通りある．
\end{itemize}
よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$[コサ]$通りある．
(6)赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$[シス]$通りある．
（図は省略）
(1)このような塗り方は，全部で$[アイ]$通りある．
(2)塗り方が左右対称となるのは，$[ウエ]$通りある．
(3)青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$[オ]$通りある．
(4)赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$[カ]$通りある．
(5)赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．
\begin{itemize}
どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[キ]$通りある．
端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[クケ]$通りある．
\end{itemize}
よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$[コサ]$通りある．
(6)赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$[シス]$通りある．
問題集 センター試験 2015年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=3$となるようにとり，辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{B}$の側の延長と$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円との交点で$\mathrm{B}$と異なるものを$\mathrm{E}$とする．
$\mathrm{CE} \cdot \mathrm{CB}=[アイ]$であるから，$\mathrm{BE}=\sqrt{[ウ]}$である．
$\triangle \mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{[キ]}{[ク]} \cdots\cdots① \]
である．
$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{EDC}$において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で，$\angle \mathrm{C}$は共通であるから
\[ \mathrm{DE}=[ケ] \sqrt{[コ]} \cdots\cdots② \]
である．
$①$，$②$から，$\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
$\mathrm{CE} \cdot \mathrm{CB}=[アイ]$であるから，$\mathrm{BE}=\sqrt{[ウ]}$である．
$\triangle \mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{[キ]}{[ク]} \cdots\cdots① \]
である．
$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{EDC}$において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で，$\angle \mathrm{C}$は共通であるから
\[ \mathrm{DE}=[ケ] \sqrt{[コ]} \cdots\cdots② \]
である．
$①$，$②$から，$\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
国立 小樽商科大学 2015年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
国立 小樽商科大学 2015年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
国立 宮崎大学 2015年 第4問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．