次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{w}$，$\mathrm{w}$，$\mathrm{w}$，$\mathrm{r}$，$\mathrm{r}$，$\mathrm{b}$の$6$個の文字の中から，$3$個を選んでできる文字の組合せは全部で$[サ]$通りである．また，$3$個を選んで横一列に並べる順列は全部で$[シ][ス]$通りである．
(2)白球$3$個，赤球$2$個，青球$1$個が入った箱がある．

(i) この箱から$3$個を同時に取り出すとき，白球が$2$個，青球が$1$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$であり，$3$個の中に青球が含まれている確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．

(ii) この箱から同時に取り出した$3$個を袋に入れる．そしてその袋から$1$個を取り出したら，青球であった．このとき，箱から取り出した$3$個が白球$1$個，赤球$1$個，青球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．

$2$つの関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$，$g(x)=-x^2+cx+3$について，曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$は点$(1,\ 0)$で同じ接線をもつとする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$a=[アイ]$，$b=[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の点$(1,\ 0)$以外の共有点の座標は$([カ],\ [キクケ])$である．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

次の各設問に答えよ．

(1)$3n+9$と$8n+9$の最大公約数が$5$となるような$20$以下の自然数$n$は$[ア]$個ある．そのうち最も大きな$n$の値は$[イウ]$である．
(2)曲線$C:y=x^2-2ax+2a^2-5a$（$a$は定数）は$x$軸と異なる$2$点で交わるものとする．$a$の値の取り得る範囲は$[エ]<a<[オ]$である．
そして，$C$と$x$軸とで囲まれた領域の面積が$8 \sqrt{6}$のとき，$a$の値は小さい順に$[カ]$，$[キ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\left( \log_4 \frac{x^2}{4} \right)^4-\log_2 \frac{x^4}{32} (1 \leqq x \leqq 16)$について，次の設問に答えよ．

(1)$\log_2 x$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$である．
(2)$f(x)$は
\[ f(x)=\left( \log_2 x+[ウエ] \right)^{\mkakko{オ}}+[カキ] \log_2 x+[ク] \]
と表すことができる．
(3)$f(x)$は

$x=[ケコ]$のとき，最大値$[サシ]$
$x=[ス]$のとき，最小値$[セソ]$

をとる．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[　]$である．
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている．この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[　]$である．
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき，実数$x$の値は$[　]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[　]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

$n$を$3$以上の整数とする．整数$x$を$2$進法で表す．上から$k+1$桁目（$1 \leqq k \leqq n$）の数を$a_k$とし，$x=1a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$と表す．$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は$0$か$1$である．この形の$x$は$[ア]$個ある．
このような$x$の中で値が最も小さいものは$10 \cdots 0_{(2)} (a_1=a_2=\cdots =a_n=0)$であり，$n$で表すと$2^n$である．また，最も大きいものを$n$で表すと$[イ]$である．$x=110 \cdots 0_{(2)} (a_1=1,\ a_2=\cdots =a_n=0)$のとき，$x$を$n$で表すと$[ウ]$である．
このような$x=1 a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$に対し，$x^\prime=1 a_2a_3 \cdots a_n{a_1}_{(2)}$とする．$x=x^\prime$となるようなすべての$x$を$n$で表すと$[エ]$である．
$x=110 \cdots 00_{(2)}$のとき，$x-x^\prime$を$n$で表すと$[オ]$である．
$x>x^\prime$となるような$x$は$[カ]$個ある．$x-x^\prime=1$となる$x$を$n$で表すと$[キ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を記入しなさい．

(1)$2016$の約数（$1$と$2016$も含める）の個数は$[　]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n$（ただし，$a_1=1$）で表される数列の第$n$項までの和は$[　]$である．
(3)$2^{28}$の桁数は$[　]$である．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$である．
(4)方程式$2 \cos \theta+\sin \theta=1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$における解$\theta$に対して$\tan \theta=[　]$である．