関数$y=f(x)$のグラフが媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\sin \theta-\theta \cos \theta \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
y=\cos \theta+\theta \sin \theta \phantom{\frac{1}{1}}
\end{array} \right. \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表されている．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin 2\theta \, d\theta$および$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos 2\theta \, d\theta$を計算せよ．

(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[　]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[　]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$である．

関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(3x)+g(2x)=\sin 6x \quad \cdots\cdots (*) \\
f^\prime(3x)+g^\prime(2x)=\sin 6x \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
f(0)=3
\end{array} \right. \]
を満たしている．下の問いに答えなさい．

(1)等式$(*)$の両辺を$x$で微分しなさい．
(2)$f^\prime(3x)$を求めなさい．
(3)$f(x),\ g(x)$を求めなさい．

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$|w|$を求めよ．
(2)複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3)数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする．このとき，複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[　]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[　]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[　]$．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

次の数値の整数部分と小数部分をそれぞれ$x,\ y$とする．
\[ \frac{1}{5-\sqrt{23}} \]
このとき次の等式が成り立つ．

$x=[ア],$

$y=\frac{\sqrt{[イ][ウ]}-[エ]}{[オ]},$

$4x^2+3xy+4y^2=[カ][キ]$

ある製品を工場$\mathrm{A}$および工場$\mathrm{B}$で製造している．工場$\mathrm{A}$の製品には$4 \, \%$，工場$\mathrm{B}$の製品には$5 \, \%$の不良品がそれぞれ含まれる．工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$の個数を$5:7$の割合で混ぜた大量の製品の中から$1$個の製品を取り出す．

(1)取り出した製品が不良品である確率は，$\displaystyle \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(2)取り出した製品が不良品であったとき，それが工場$\mathrm{A}$の製品である確率は，$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．

次の式を展開したとき，$a^{5-k}b^k$の項の係数を$C_k$とする．ただし，$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 5$とする．

${(5a+12b)}^5$

(1)係数$C_2$に対して，
\[ \log_{10}C_2=[タ] \log_{10}2+[チ] \log_{10}3+[ツ] \]
が成り立つ．
(2)$2$つの係数$C_3,\ C_4$に対して，
\[ \log_{10}C_4-\log_{10}C_3=[テ] \log_{10}2+[ト] \log_{10}3-[ナ] \]
が成り立つ．